指数・対数関数の基本

a が実数で n が整数の時，aⁿ = a × a × ・・・ × a （a を n 回掛ける）と書き表す。これを a の n 乗と呼び，このような演算のことを累乗と呼ぶ。

（例）3⁸ = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 6561

累乗の性質から考えて，以下のことが成り立つことは分かるであろう。

1. a が実数，m・n が正整数の時 a^m × aⁿ = a^{m + n}
2. a が実数，m・n が正整数の時 (a^m)ⁿ = a^{m × n}
3. a・b が実数，m が正整数の時 a^m × b^m = (a × b)^m

実例を挙げてみると

1. 3⁵ × 3³
   = (3 × 3 × 3 × 3 × 3) × (3 × 3 × 3)
   = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3
   = 3⁸
   = 3^{5 + 3}
2. (3³)²
   = (3 × 3 × 3)²
   = (3 × 3 × 3) × (3 × 3 × 3)
   = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3
   = 3⁶
   = 3^{3 × 2}
3. 2⁴ × 5⁴
   = (2 × 2 × 2 × 2) × (5 × 5 × 5 × 5)
   = (2 × 5) × (2 × 5) × (2 × 5) × (2 × 5)
   = (2 × 5)⁴

ここで，a⁰というものを考えてみる。
上の法則が正整数だけでなく0でも成り立つと考えると，公式1より（n は正整数）
aⁿ × a⁰ = a^{n + 0} = aⁿ
∴ aⁿ × a⁰ = aⁿ
a ≠ 0 であれば，この両辺を aⁿで割って a⁰ = 1 が得られる。a = 0 のときは 0⁰ は定まらないため考えないものとする。

「a ≠ 0 である任意の実数 a について，a⁰ = 1 が成り立つ」と定義する。

さらに，a^-n（n は正整数）というものを考えてみる。
上の法則が0以上の整数だけでなく負の整数でも成り立つと考えると，公式1より（a は0でない実数）
aⁿ × a^-n = a^{n + (-n)} = a⁰ = 1
∴ aⁿ × a^-n = 1
a ≠ 0 であるから，この両辺を aⁿで割って

が得られる。

「a ≠ 0 である任意の実数 a について，a^-n = 1/aⁿ が成り立つ」と定義する。

さらに，a^m/n（m，n は整数）というものを考えてみる。
上の法則が有理数でも成り立つと考えると，公式2より（a は0でない実数）
(a^m/n)ⁿ = a^{(m/n) × n} = a^m
∴ (a^m/n)ⁿ = a^m
すなわち，a^m/n の n 乗が a^m なのでである。

一般に，実数 x に対して x を n 乗すると y になるとき（n は正整数），y を「x の n 乗根」と呼ぶ。
特に2乗根は「平方根」（ABではSqr関数として利用可能），3乗根は「立方根」と呼ぶ。

（例１）9の2乗根（平方根）は「√9」と書き表す。9 = 3² であるから √9 = 3 である。
（例２）16の4乗根は「⁴√16」と書き表す。16 = 2⁴ であるから ⁴√16 = 2 である。
（例３）一般に累乗根はきっちりとした数字に収まるとは限らない。例えば √2 = 1.41421356237 ... と無限小数になる。

【注意】
奇数乗根はどんな実数にも存在するが，偶数乗根は0以上の実数にしか存在しない（なぜなら，正の数でも負の数でも2乗すれば正になるため）。
また，正の数に対する偶数乗根は2つ存在する（例えば，2² = (-2)² = 4 なので 2 と -2 は 4 の平方根）。ただし特に断りなく「ⁿ√a」（n は偶数）と書いた場合は，累乗根のうち正のもののみを指すこととする（例１〜３もこれに従っている）。

結局，「a ≠ 0 である任意の実数 a について，a^m/n = ⁿ√a^m が成り立つ」と定義できる。
ただし，aが負の実数であればnは奇数に限定される。

このように考えていくと，実数全体に対して累乗が考えられそうな気がしてきただろう。現在のところ有理数しか考えていないが，実際には無理数（2整数の商として表せない数。π（円周率）などがこれにあたる）にも「有理数の間を縫う」ようにすれば，正の数に対しては「無理数で累乗する」という演算が定義できる（厳密な証明は大学レベルになるので略）。

a を正の数（定数），x を実数（変数）として y = a^x のような関数を考える。これを指数関数という。もし a = 1 であれば常に y = 1 であるので，ここでは a ≠ 1 の場合のみを考える。

a > 1 の場合，グラフはおおよそ次のような形になる。

a < 1 の場合，グラフはおおよそ次のような形になる。

y = a^x の関係が成立する時，y から x を見た式を考える（すなわち，x = f(y) の形に表す）。
y = a^x を x を見た式として x = log_ay という表記を定義する。log_ay というのは，「a を何乗すると y になるか」を表している。これを「対数」という。
もとの指数関数の意味より，上の式においてyは正の数に限られ，a（これを「底 <てい>」という）は1でない正の数に限られる。

対数は以下の性質を満たす。

1. x・yが正の数，a が1でない正の数のとき log_a(x × y) = log_ax + log_ay
2. x・yが正の数，a が1でない正の数のとき log_a(x ÷ y) = log_ax - log_ay
3. xが正の数，pが実数，a が1でない正の数のとき log_a(x^p) = p × log_ax
4. xが正の数，a・b が1でない正の数のとき log_ax = log_bx ÷ log_ba